Distinguiamo tre casi:
- velocità iniziale pari a zero cioè partenza da fermo;
- velocità iniziale negativa cioè il corpo viene lanciato verticalmente verso l’alto;
- velocità iniziale positiva cioè il corpo viene lanciato verticalmente verso il basso.
Velocità iniziale pari a zero
Le formule da adottare sono:
Velocità
$$V=g\cdot t$$
Legge oraria
$$S=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$
Esercizio: un corpo cade da un’altezza di 100 m. Calcolare quanto spazio avrà percorso dopo 3 s di caduta, dopo quanto tempo e a quale velocità toccherà il suolo.
Applicando la legge oraria si avrà:
$$S=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9,8\cdot 3 ^{2} = 44,1 m$$
Per calcolare il tempo di caduta, bisogna ricavarsi il tempo dalla legge oraria:
$$t= \sqrt{ \frac{2\cdot S}{g}} = \sqrt{ \frac{2\cdot 100}{ 9,8}} = \sqrt{20,4} = 4,5 s$$
Per calcolare la velocità con la quale il corpo toccherà il suolo si dovrà applicare la formula della velocità ponendo al posto del tempo proprio il tempo di caduta:
$$V=g \cdot t=9,8 \cdot 4,5=44,1 m/s$$
Velocità iniziale negativa (lancio verticale verso l’alto)
Le formule da adottare sono:
Velocità
$$V=-V_{0}+g \cdot t$$
Legge oraria
$$S=-V_{0}\cdot t+\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}$$
Esercizio: un corpo viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale di 5 m/s da un’altezza di 100 m. Calcolare quale sarà l’altezza massima raggiunta dal corpo, quanto spazio avrà percorso dopo 3 s, dopo quanto tempo e a quale velocità toccherà il suolo.
Per calcolare l’altezza massima raggiunta dal corpo, basta calcolarsi il tempo dall’espressione della velocità imponendo la velocità pari a zero. Infatti, quando il corpo raggiunge l’altezza massima, la sua velocità si annulla e invertirà quindi il suo moto iniziando la caduta verso il basso.
$$0= -V_0 +g \cdot t$$
$$g \cdot t= V_0$$
$$ t= \frac{V_0}{g}= \frac{5}{9,8}=0,51 s$$
Quindi il corpo dopo 0,51 s si fermerà per ricadere verso il basso. In questo intervallo di tempo avrà percorso uno spazio verso l’alto di:
$$S=-V_{0}\cdot t+\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} =-5 \cdot 0,51+\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 0,51^{2}=-1,28m$$
il segno negativo sta ad indicare che lo spazio è stato percorso verso l’alto. L’altezza totale raggiunta sarà quindi pari a 101,28 m.
Lo spazio totale percorso dopo 3 s sarà:
$$S=-V_{0}\cdot t+\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} =-5 \cdot 3+\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 3^{2}=29,1 m$$
dei quali 1,28 m verso l’alto e 27,82 m verso il basso, cioè avrà raggiunto una quota di
$$h=101,28-27,82=73,46 m$$
Per rispondere alla domanda “dopo quanto tempo toccherà il suolo”, basta porre S= 100 m nella legge oraria e ricavare il tempo t.
$$100=-V_{0}\cdot t+\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} $$
ordinando:
$$\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} -V_{0}\cdot t -100=0$$
sostituendo i valori:
$$\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^{2} -5\cdot t -100=0$$
risolvendo l’equazione di secondo grado si otterranno due soluzioni:
$t_1=-4,04 s$ e $t_2=5,06 s$
escludendo la soluzione negativa, la risposta al quesito sarà quindi:
$t_2=5,06 s$
La velocità raggiunta al suolo sarà:
$$V=-V_{0}+g\cdot t=-5+9,8\cdot 5,06=44,59 \frac {m}{s}$$
Velocità iniziale positiva
Il caso di velocità iniziale positiva (verso il basso) è simile a quello con velocità iniziale negativa (verso l’alto). Basta cambiare il segno della velocità iniziale $V_0$.